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ゴジラ2000ミレニアム 商品画像 情報 登場作品：ゴジラ2000ミレニアム 定価：7,560円 発売日：2013年12月28日(土) 再販日： 商品全高：約155mm 目撃せよ！S.H.MonsterArtsゴジラ新世紀 ～ゴジラ2000ミレニアム 付属品 手首：無し 武器：無し その他：無し キャラクター概要 商品解説 良い点 悪い点 不具合情報 関連商品 ゴジラ2000ミレニアム Special Color Ver. ゴジラ コメント 名前 コメント
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ダース・ベイター 商品画像 情報 登場作品：スター・ウォーズ 定価：5,940円 発売日：2015年04月予定 再販日： 商品全高：約160mm S.H.Figuarts スター・ウォーズ スペシャルページ 付属品 手首：×○（右×○、左×○） 武器：ライトセイバー その他： 初回特典：ディスプレイスタンド キャラクター概要 商品解説 良い点 悪い点 不具合情報 関連商品 ストームトルーパー コメント 名前 コメント
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import java.io.*; public class authordic{ String[] data=new String[50000]; String[] dic=new String[5000]; String[][] author=new String[250][500]; int[] number=new int[250]; int s,sx,datanumber,dicnumber; String file; String str,str1,str2; int page,p1,p2,h; public static void main(String[] args){ authordic test=new authordic(); } authordic(){ for(page=1;page 220;page++){ file="author/"; file=file+page; file=file+".txt"; readfile(file); for(s=1;s datanumber+1;s++){ author[page][s]=data[s]; } number[page]=datanumber; } dicnumber=0; for(page=1;page 220;page++){ for(s=1;s number[page]+1;s++){ h=0; for(sx=1;sx dicnumber+1;sx++){ if(author[page][s].equals(dic[sx]))h=100; } if(h 50)dicnumber=dicnumber+1; if(h 50)dic[dicnumber]=author[page][s]; } } writefile(); } void writefile(){ int s,sx; try{ PrintWriter pw = new PrintWriter (new BufferedWriter(new FileWriter("author.txt"))); for(s=1;s dicnumber+1;s++){ pw.println(dic[s]); } System.out.println("ファイルに書きこみました。"); pw.close(); } catch(IOException ep){ System.out.println("入出力エラーです。"); } } void readfile(String file){ String str; BufferedReader br; s=0; try { br = new BufferedReader(new InputStreamReader(new FileInputStream(file),"SJIS")); while((str = br.readLine()) != null) { s=s+1; data[s]=str; } br.close(); } catch (IOException e) {System.out.println(e);} datanumber=s; } }
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スカイハイ（Sky High） 商品画像 情報 登場作品：TIGER＆BUNNY 定価：4,725円 発売日：2012年02月25日(土) 再販日：2012年05月26日(土) 商品全高：約150mm 付属品 手首：8種（握り手、開き手、平手、表情つき開き手 各種左右×2） 武器：無し その他：交換用頭部(+折れた角) ブースターエフェクトパーツ ロゴ入り魂STAGE ACT.4 キャラクター概要 キース・グッドマン扮するポセイドンラインに所属するヒーロー、通称「キングオブヒーロー」。 バーナビー・ブルックスJr.の1位昇進後は風の魔術師と呼ばれていた。 キングの名に違わず性格もよく文句のつけようがない好青年だが、若干天然キャラな部分がある。 風を操るNEXT能力を持つ。 商品解説。 TIGER BUNNYシリーズ第4弾。 胸にはUSTREAM、上腕には魂ネイションズのロゴがプリントされる。 予約開始日では前3アイテムも大概だったが、本商品は風の如き速さで瞬殺が相次ぎ、1分も持たないなどざらというレベルであった。 若干汚れがある箇所も見受けられるがシリーズとしては塗装精度は割と良く、エフェクトの出来なども良好で見た目の面では良質な一品。 上半身の可動は良好なものの下半身のコート部が硬質プラ性で開脚性や足回りの可動がイマイチなのが難点。 一応、ピシッとしたキャラクターイメージや飛行ポーズには非常に合っているので賛否両論といったところか。 また、飛行ありきのキャラクター像にも関わらず、バックパックと魂STAGEのジョイントが干渉すると言う点もマイナスポイントか。 なお、背中のジェットパックの展開は再現されていない(劇中あまり目立たないため気付かない人も多いギミックではあるが)。 なぜかさして重要でもないシーン再現アイテムである角折れ頭部が付属する。(負けたと言う印象が勝り角が折れた印象も薄いシーン…だが一部ファンには印象深い模様) 細かい事に折れた角の先端も付属する。非常に小さいパーツのためランナーに着いた状態で同梱されており、切り離しの際は紛失に注意。 TAMASHII NATIONSアワード2012ではS.I.C.オーズと同着で見事ゴールド賞の栄冠に輝いた。 良い点 上半身の可動が良好 硬質のコートパーツにより、ピシッとした飛行シーン・素立ちポーズが決まる 角折れ頭部やエフェクト、各種手首などの再現用小物の付属 悪い点 硬質のコートパーツにより、足を開いたポーズがイマイチ見映えが良くない 飛行キャラにも関わらずバックパックと魂ステが干渉する ジェットパックの展開が再現されていない ある程度緩和されたが相変わらず品薄すぎる状況 不具合情報 関連商品 キース・グッドマンZERO ワイルドタイガー ワイルドタイガー 桂正和オリジナルカラーVer. ワイルドタイガー ONE MINUTE ワイルドタイガー -Movie Edition- バーナビー・ブルックスJr. バーナビー・ブルックスJr. Amazon.co.jp (R) EDITION バーナビー・ブルックスJr. DARKNESS BUNNY EDITION ロックバイソン 折紙サイクロン ファイヤーエンブレム ブルーローズ ルナティック H-01 コメント 名前 コメント
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-i~-ck ～-h -ek～ i 1176 fungi ak 1207 leak 244 break 1862 outbreak 1192 peak 1203 weak 2619 soak ck 495 feedback 2111 jack 425 lack 1060 pack 1174 crack 424 track 2362 stack 406 attack 2607 deck 676 check 2202 neck 2284 wreck 883 thick 3273 lick 64 pick 2353 brick 1391 trick 776 stick 956 shock 1552 lock 412 block 2118 knock 262 rock 3010 sock 898 stock 2049 suck 2159 duck 2306 luck 2478 truck
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[ マキシミン / 物理複合 ] [ 系統 剣系 /ランダム 50 % ](Lv1- 2) 能力 S を値 7 (Lv2)まで上げ [ 系統 共通系 /ランダム 50 % ](Lv2- 3) 能力 S をUPP 2 (Lv9)まで上げ [ 系統 剣系 /ランダム 50 % ](Lv9- 10) 能力 S をUPP 3 (Lv19)まで上げ 能力 X をUPP 3 (Lv22)まで上げ 能力 S をUPP 4 (Lv30)まで上げ 能力 X をUPP 4 (Lv40)まで上げ 能力 S をUPP 5 (Lv46)まで上げ 能力 H をUPP 2 (Lv48)まで上げ 能力 A をUPP 3 (Lv52)まで上げ 能力 F をUPP 3 (Lv57)まで上げ 能力 H をUPP 3 (Lv66)まで上げ 能力 A をUPP 6 (Lv110)まで上げ [ 系統 共通系 /ランダム 50 % ](Lv110- 111) 能力 A をUPP 8 (Lv140)まで上げ 能力 F をUPP 4 (Lv144)まで上げ 能力 H をUPP 7 (Lv192)まで上げ 能力 F をUPP 5 (Lv199)まで上げ 能力 H をUPP 8 (Lv217)まで上げ 能力 F を値 41 (Lv221)まで上げ 能力 H を値 135 (Lv223)まで上げ L223,S155,H135,I1,F41,M1,X190,A164,P5,R111/222
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[ マキシミン / 物理複合 ] [ 系統 剣系 /ランダム 50 % ](Lv1- 2) 能力 S を値 7 (Lv2)まで上げ [ 系統 共通系 /ランダム 50 % ](Lv2- 3) 能力 S をUPP 2 (Lv9)まで上げ [ 系統 剣系 /ランダム 50 % ](Lv9- 10) 能力 S をUPP 3 (Lv19)まで上げ 能力 X をUPP 3 (Lv22)まで上げ 能力 S をUPP 4 (Lv30)まで上げ 能力 H をUPP 2 (Lv34)まで上げ 能力 A をUPP 3 (Lv40)まで上げ 能力 S をUPP 5 (Lv46)まで上げ 能力 X をUPP 4 (Lv50)まで上げ 能力 F をUPP 3 (Lv55)まで上げ 能力 H をUPP 3 (Lv62)まで上げ 能力 A をUPP 7 (Lv128)まで上げ 能力 F をUPP 4 (Lv132)まで上げ [ 系統 共通系 /ランダム 50 % ](Lv132- 133) 能力 H をUPP 4 (Lv138)まで上げ 能力 A をUPP 9 (Lv165)まで上げ 能力 H をUPP 5 (Lv174)まで上げ 能力 F をUPP 5 (Lv182)まで上げ 能力 H を値 135 (Lv235)まで上げ 能力 F を値 41 (Lv236)まで上げ L236,S177,H135,I1,F41,M1,X185,A177,P2,R117/235
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タグ 明るい 曲名K 歌 YURIA 作詞 milktub 作曲 milktub 作品 Kissing!! ~under the mistletoe~OP 「Kissing!!under the mistletoe」オリジナルサウンドトラック
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最終更新日時 2011年03月09日 (水) 20時52分43秒 代数的整数論 006 (126-190) 元スレ： http //science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1185363461/126-190 ログ元： http //2se.dyndns.org/test/readc.cgi/science6.2ch.net_math_1185363461/126-190 126 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/02(木) 17 26 12 命題 G を第一可算公理を満たす位相アーベル群とする。 K を G の準コンパクトな閉集合とする。 K に含まれる Cauchy 列は K の点に収束する。 即ち K は完備( 100, 101)である。 証明 (x_n), n ∈ Z+ を K の元よりなる Cauchy 列とする。 123 より (x_n) は X の点 x に収束する部分点列を持つ。 K は閉集合だから x ∈ K である。 124 より x = lim x_n である。 証明終 127 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/03(金) 19 29 36 命題 G を第一可算公理を満たす位相アーベル群とする。 K を G の全有界かつ完備な部分集合とする。 K は準コンパクトである。 証明 106 より K に含まれる任意の点列は Cauchy 点列を部分列に持つ。 K は完備だから K に含まれる Cauchy 点列は常に K の点に 収束する。 従って、K に含まれる任意の点列は K の点に収束する部分列を持つ。 120 より K は準コンパクトである。 証明終 128 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/03(金) 19 30 10 定義 ハウスドルフ位相空間 X の各点がコンパクトな近傍をもつとき、 X は局所コンパクトであると言う。 129 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/03(金) 19 30 42 命題 G を第一可算公理を満たす局所コンパクトアーベル群とする。 G は完備である。 証明 V を G の単位元のコンパクトな近傍とする。 (x_n) を Cauchy 点列とする。 n_0 ∈ Z+ があり、 任意の n, m ≧ n_0 に対して x_n - x_m ∈ V となる。 特に x_n - x_(n_0) ∈ V だから x_n ∈ x_(n_0) + V となる。 x_(n_0) + V はコンパクトだから 123 より点列 (x_n), n ≧ n_0 は 収束する部分点列を持つ。 124 より (x_n), n ≧ n_0 は収束する。 従って、(x_n), n ∈ Z+ も収束する。 即ち、G は完備である。 証明終 130 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/03(金) 19 33 11 定義 G を位相アーベル群とする。 X を G の部分空間とする。 Φ を X のフィルター( 76)とする。 G の単位元 0 の任意の近傍 V に対して V 程度に小さい( 98) Φ の元があるとき Φ を X の Cauchy フィルターと言う。 X のフィルター基底( 77) Φ_0 が生成する X のフィルターが Cauchy フィルターのとき Φ_0 を X の Cauchy フィルター基底と言う。 131 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/03(金) 19 34 09 定義 X を 位相空間とする。 Φ を X のフィルター( 76)とする。 X の点 x の近傍全体の作るフィルターが Φ に含まれるとき Φ は x に収束すると言う。 このとき x を Φ の極限点と言う。 X のフィルター基底( 77) Φ_0 が生成するフィルターが x に 収束するとき Φ_0 は x に収束すると言う。 このとき x を Φ_0 の極限点と言う。 132 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/03(金) 19 34 39 定義 X を位相空間とする。 Φ_0 を X のフィルター基底( 77) とする。 X の点 x が任意の A ∈ Φ_0 の閉包に含まれるとき x を Φ_0 の接触点と言う。 133 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/03(金) 19 35 38 定義 G を位相アーベル群とする。 X を G の部分空間とする。 Φ を X の Cauchy フィルター( 130)とする。 Ψ ⊂ Φ となる X の Cauchy フィルター Ψ は Φ に限るとき Φ を X の極小 Cauchy フィルターと言う。 134 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/03(金) 19 36 21 定義 G を位相アーベル群とする。 A を G の部分集合とする。 G の単位元 0 の近傍 V に対して V(A) を x + V 全体の共通集合とする。 ここで x は A の点全体を動く。 135 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/03(金) 19 39 51 補題 G を位相アーベル群とする。 A を G の部分集合とする。 G の単位元 0 の対称近傍( 92) V に対して A が V 程度に小さければ( 98) V(A) は 3V = V + V + V 程度に小さい。 証明 x と y を V(A) の元とする。 x = a + v, a ∈ A, v ∈ V y = b + w, b ∈ A, w ∈ W と書ける。 x - y = a - b + v - w ∈ V + V + V よって V(A) は 3V 程度に小さい。 証明終 136 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/03(金) 19 42 27 命題 G を位相アーベル群とする。 X を G の部分空間とする。 Φ を X の Cauchy フィルター( 130)とする。 Φ_0 を Φ のフィルター基底とする。 V を G の単位元 0 の対称基本近傍系 Γ 全体を動かし、 M を Φ_0 の元全体を動かしたときの V(M) ∩ X 全体を Ψ_0 とする。 Ψ_0 は X の Cauchy フィルター基底( 130)であり、 Ψ_0 が生成する X のフィルター Ψ は Φ に含まれる X の唯一の極小 Cauchy フィルター( 133)である。 証明 M, N を Φ_0 の元とし、 V, W を Γ の元とする。 L ⊂ M ∩ N となる L ∈ Φ_0 と U ⊂ V ∩ W となる U ∈ Γ がある。 U(L) ⊂ V(M) ∩ W(N) である。 従って、 U(L) ∩ X ⊂ V(M) ∩ W(N) ∩ X である。 よって Ψ_0 は X の Cauchy フィルター基底である。 (続く) 137 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/03(金) 20 27 01 135 より M が V 程度に小さければ V(M) ∩ X は 3V 程度に小さい。 よって Ψ_0 は X の Cauchy フィルター基底である。 M ⊂ V(M) ∩ X だから Ψ_0 ⊂ Φ である。 Δ を Cauchy フィルターで Δ ⊂ Φ とする。 任意の M ∈ Φ_0 V ∈ Γ に対して V 程度に小さい N ∈ Δ がある。 Δ ⊂ Φ だから N と M は交わる。 よって N ⊂ V(M) ∩ X となり、V(M) ∩ X ∈ Δ となる。 よって Ψ_0 ⊂ Δ となる。 これは Ψ_0 が Φ に含まれる唯一の極小 Cauchy フィルター であることを意味する。 証明終 138 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/03(金) 20 38 43 命題 G を位相アーベル群とする。 X を G の部分空間とする。 Φ を X の Cauchy フィルター( 130)とする。 Φ_0 を Φ のフィルター基底とする。 Φ が X の 極小 Cauchy フィルターであるためには 任意の N ∈ Φ に対して M ∈ Φ_0 と G の単位元 0 の対称近傍 V があり、V(M) ∩ X ⊂ N となることが必要十分である。 証明 136 より明らかである。 139 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/03(金) 20 57 02 命題 G を位相アーベル群とする。 X を G の部分空間とする。 x を X の点とする。 G の単位元 0 の任意の近傍 V に対して (x + V) ∩ X の全体 Φ は X の 極小 Cauchy フィルターである。 証明 Φ がフィルターであることは明らかである。 G の単位元 0 の任意の近傍 V に対して W + W ⊂ V となる 0 の対称近傍 W を取る。 W(x + W) = x + W + W ⊂ x + V よって 138 より Φ は極小 Cauchy フィルターである。 証明終 140 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/03(金) 21 12 19 命題 G を位相アーベル群とする。 X を G の部分空間とする。 X の Cauchy フィルター基底 Φ_0 が X の点 x を接触点に持てば、 x は Φ_0 の極限点である。 証明 G の単位元 0 の任意の近傍 V に対して W + W ⊂ V となる 0 の近傍 W がある。 Φ_0 はCauchy フィルター基底だから W 程度に小さい( 98) M ∈ Φ_0 がある。 x + W と M は交わるから M の元 z があり、z - x ∈ W となる。 y ∈ M なら y - z ∈ W である。 従って、 y - x = y - z + z - x ∈ W + W ⊂ V よって y ∈ x + V 即ち M ⊂ x + V よって x は Φ_0 の極限点である。 証明終 141 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/03(金) 21 26 26 命題 X を位相空間とする。 Φ と Ψ を X のフィルターで、Φ ⊂ Ψ とする。 Φ の極限点( 131)は Ψ の極限点である。 Ψ の接触点( 132)は Φ の接触点である。 証明 定義( 131, 132)より明らかである。 142 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/03(金) 21 55 17 命題 G を位相アーベル群とする。 X を G の部分空間とする。 X の任意の Cauchy 点列が収束するとする。 このとき X の任意の可算な Cauchy フィルター基底も収束する。 証明 (F_n), n ∈ Z+ を可算な Cauchy フィルター基底とする。 (F_n) が生成するフィルターを Φ とする。 A_n = F_0 ∩. . . ∩F_n とする。 (A_n), n ∈ Z+ が生成するフィルターも Φ である。 各 A_n から点 x_n を取り出し点列 (x_n) を作る。 (A_n) は Cauchy フィルター基底だから (x_n) は Cauchy 点列( 88) である。 B_n = {x_n, x_(n+1), . . . } とおく。 (B_n), n ∈ Z+ は X の可算なフィルター基底である。 (B_n) が生成するフィルターを Ψ とする。 B_n ⊂ A_n だから Φ ⊂ Ψ である。 点列 (x_n) は Cauchy 点列だから収束する。 従って (B_n) も収束する。 従って Ψ も収束する。 Ψ の収束点は Ψ の接触点だから 141 より Φ の接触点でもある。 140 より、これは Φ の極限点である。 証明終 143 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/03(金) 22 06 56 注意 142 では G での第一可算公理を仮定していない。 144 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/03(金) 22 07 57 命題 G を第一可算公理を満たす位相アーベル群とする。 X を G の部分空間で完備( 100)とする。 X の任意の Cauchy フィルターは X において収束する。 証明 (V_n), n ∈ Z+ を G の単位元の基本近傍系とする。 Φ を X の Cauchy フィルターとする。 A_n を V_n 程度に小さい( 98) Φ の元とする。 (A_n), n ∈ Z+ は Cauchy フィルター基底である。 (A_n), n ∈ Z+ が生成する Cauchy フィルターを Ψ とする。 Ψ ⊂ Φ である。 142 より Ψ は収束するから Φ も収束する。 証明終 145 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/03(金) 22 10 01 定義 G を位相アーベル群とする。 G の部分空間 X に含まれる Cauchy フィルター( 130)が常に X の点に 収束するとき X を完備という。 146 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/03(金) 22 11 14 144 より 145 の定義は 101 の定義と矛盾しない。 147 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/03(金) 22 20 53 定義 G を位相アーベル群とする。 I を(可算とは限らない)任意の集合とする。 (x_i), i ∈ I を G の元の I を添字集合とする族とする。 I の有限部分集合全体の集合を Φ(I) とする。 J ∈ Φ(I) に対して S(J) = Σx_i とおく。 ここで右辺の和の i は J の元全体を動く。 J が空集合のときは S(J) = 0 とする。 G のある元 S が存在して、 G の単位元の任意の近傍 V に対して J_0 ∈ Φ(I) があり、 J_0 ⊂ J となる任意の J ∈ Φ(I) に対して S(J) ∈ S + V となるとき、族 (x_i) は総和可能といい、 S をその和と呼ぶ。 このとき S = Σx_i と書く。 148 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/03(金) 22 23 35 訂正 147 G を位相アーベル群とする。 G を分離的( 73)な位相アーベル群とする。 149 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/03(金) 23 25 49 命題 X をハウスドルフ空間( 83)とする。 X のフィルターが収束( 131)するときその極限点は一意に決まる。 証明 Φ を X のフィルターで、x と y を Φ の極限点とする。 x ≠ y と仮定する。 x と y のそれぞれの近傍 V, W で交わらないものがある。 V と W は Φ の元だから V ∩ W も Φ の元であり空でない。 これは矛盾である。 証明終 150 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/03(金) 23 37 35 命題 G を分離的( 73)な位相アーベル群とする。 I を(可算とは限らない)任意の集合とする。 (x_i), i ∈ I を I を添字集合とする G の元の族とする。 族 (x_i) が総和可能なら、その和は一意に決まる。 証明 I の有限部分集合全体の集合を Φ(I) とする。 J ∈ Φ(I) に対して S(J) = Σx_i とおく。 ここで右辺の和の i は J の元全体を動く。 J が空集合のときは S(J) = 0 とする。 J ∈ Φ(I) に対して Ψ(J) = {S(K) J ⊂ K, K ∈ Φ(I)} とおく。 Ψ_0 = {Ψ(J); J ∈ Φ(I)} は G のフィルター基底である。 族 (x_i) が総和可能で、その和が x であることと Ψ_0 が収束してその極限点が x であることは同値である。 G はハウスドルフ空間である( 85)から 149 より Ψ_0 の極限点は一意に決まる。 証明終 151 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/03(金) 23 49 47 命題( 28 の一般化) G を分離的( 73)な位相アーベル群とする。 I を(可算とは限らない)任意の集合とする。 (x_i), i ∈ I を I を添字集合とする G の元の族とする。 K を集合として、φ K → I を同型、即ち全単射とする。 族 (x_i) が総和可能( 147) なら 族 (x_φ(k))) も総和可能であり、 Σx_i = Σx_φ(k) となる。 証明 S = Σx_i とする。 I の有限部分集合全体の集合を Φ(I) とする。 J ∈ Φ(I) に対して S(J) = Σx_i とおく。 ここで右辺の和の i は J の元全体を動く。 J が空集合のときは S(J) = 0 とする。 同様に K の有限部分集合全体の集合を Φ(K) とする。 H ∈ Φ(K) に対して T(H) = Σx_φ(k) とおく。 ここで右辺の和の k は H の元全体を動く。 H が空集合のときは T(H) = 0 とする。 T(H) = S(φ(H)) である。 G の単位元の任意の近傍 V に対して J_0 ∈ Φ(I) があり、 J_0 ⊂ J となる任意の J ∈ Φ(I) に対して S(J) ∈ S + V となる。 H_0 = φ^(-1)(J_0) とおく。 H_0 ⊂ H となる H ∈ Φ(K) に対して J = φ(H) とおく。 φ は全単射だから J_0 = φ(H_0) である。 H_0 ⊂ H だから J_0 ⊂ J である。 よって S(J) = S(φ(H)) ∈ S + V 即ち、T(H) ∈ S + V これは S = Σx_φ(k) を意味する。 証明終 152 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/04(土) 00 09 11 命題( 29 の一般化) G を分離的な位相アーベル群とする。 I を(可算とは限らない)任意の集合とする。 (x_i), i ∈ I を I を添字集合とする G の元の族とする。 族 (x_i) は総和可能( 25)とする。 G の単位元の任意の近傍 V に対して J_0 ∈ Φ(I) があり、 K ∈ Φ(I) で J_0 ∩ K が空集合なら S(K) ∈ V となる。 証明 W + W ⊂ V となる 0 の対称近傍 W がある。 J_0 ∈ Φ(I) があり、 J_0 ⊂ J となる任意の J ∈ Φ(I) に対して S(J) ∈ S + W となる。 J - J_0 = K とおく。 S(J) = S(J_0) + S(K) である。 S(K) = S(J) - S(J_0) = S(J) - S + S - S(J_0) ∈ W + W ⊂ V 証明終 153 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/04(土) 00 36 08 定義(Cauchy の判定条件) G を分離的な位相アーベル群とする。 I を(可算とは限らない)任意の集合とする。 (x_i), i ∈ I を I を添字集合とする G の元の族とする。 次の条件を Cauchy の判定条件と言う。 G の単位元の任意の近傍 V に対して J_0 ∈ Φ(I) があり、 K ∈ Φ(I) で J_0 ∩ K が空集合なら S(K) ∈ V となる。 154 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/04(土) 00 41 57 命題 G を分離的な位相アーベル群とする。 I を(可算とは限らない)任意の集合とする。 (x_i), i ∈ I を I を添字集合とする G の元の族とする。 (x_i) が総和可能なら G の単位元の任意の近傍 V に対して J_0 ∈ Φ(I) があり、i ∈ I - J_0 なら x_i ∈ V となる。 証明 152 より明らかである。 155 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/04(土) 01 12 43 命題 X をハウスドルフ空間とする。 x を X の任意の点とする。 x のすべての近傍の共通部分は {x} である。 証明 x のすべての近傍の共通部分を Y とする。 y ∈ Y で y ≠ x とすると、 x の近傍 V で y を含まないものがあるから、これは矛盾である。 よって Y = {x} である。 証明終 156 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/04(土) 01 23 39 命題 G を第一可算公理を満たす分離的な位相アーベル群とする。 I を(可算とは限らない)任意の集合とする。 (x_i), i ∈ I を I を添字集合とする G の元の族とする。 (x_i) が総和可能なら x_i ≠ 0 となる i の集合は高々可算である。 証明 (V_n), n ∈ Z+ を G の単位元の基本近傍系とする。 x_i が V_n に含まれないような i の集合を H_n とする。 155 より V_n 全体の共通部分は {0} であるから x_i ≠ 0 となる i の集合 H は H_n の和集合となる。 154 より H_n は有限集合である。 従って H は高々可算である。 証明終 157 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/04(土) 01 38 21 命題 G を分離的な位相アーベル群とする。 I を(可算とは限らない)任意の集合とする。 (x_i), i ∈ I を I を添字集合とする G の元の族とする。 J ∈ Φ(I) に対して Ψ(J) = {S(K) J ⊂ K, K ∈ Φ(I)} とおく。 Ψ_0 = {Ψ(J); J ∈ Φ(I)} は G のフィルター基底である。 (x_i), i ∈ I が Cauchy の判定条件( 153)を満たせば、 Ψ_0 は Cauchy フィルター基底( 130)である。 証明 G の単位元 0 の任意の近傍 V に対して W + W ⊂ V となる 0 の対称近傍 W をとる。 Cauchy の判定条件( 153)より J_0 ∈ Φ(I) があり、 K ∈ Φ(I) で J_0 ∩ K が空集合なら S(K) ∈ W となる。 J_0 ⊂ J なら K = J - J_0 とおくと S(K) = S(J) - S(J_0) ∈ W となる。 同様に J_0 ⊂ J_1 なら K_1 = J_1 - J_0 とおくと S(K_1) = S(J_1) - S(J_0) ∈ W となる。 よって S(J_1) - S(J) = S(J_1) - S(J_0) + S(J_0) - S(J) ∈ W + W ⊂ V よって Ψ_0 は Cauchy フィルター基底である。 証明終 158 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/04(土) 01 45 44 命題(Cauchy の定理) G を分離的かつ完備な位相アーベル群とする。 I を(可算とは限らない)任意の集合とする。 (x_i), i ∈ I を I を添字集合とする G の元の族とする。 (x_i), i ∈ I が Cauchy の判定条件( 153)を満たせば、 (x_i), i ∈ I は総和可能である。 証明 J ∈ Φ(I) に対して Ψ(J) = {S(K) J ⊂ K, K ∈ Φ(I)} とおく。 Ψ_0 = {Ψ(J); J ∈ Φ(I)} は G のフィルター基底である。 157 より Ψ_0 は Cauchy フィルター基底( 130)である。 G は完備( 145)だから Ψ_0 は収束する。 よって (x_i), i ∈ I は総和可能である。 証明終 159 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/04(土) 02 31 11 命題( 42の一般化) G を分離的かつ完備な位相アーベル群とする。 I を(可算とは限らない)任意の集合とする。 (x_i), i ∈ I を I を添字集合とする G の元の族とする。 族 (x_i) は総和可能( 25)とする。 H を I の任意の部分集合とする。 H を添字集合とする部分族 (x_i), i ∈ H は総和可能である。 証明 152 より族 (x_i), i ∈ I は Cauchy の判定条件( 153)を満たす。 即ち、G の単位元の任意の近傍 V に対して J_0 ∈ Φ(I) があり、 K ∈ Φ(I) で J_0 ∩ K が空集合なら S(K) ∈ V となる。 L ∈ Φ(H) で (J_0 ∩ H) ∩ L = J_0 ∩ L が空集合なら S(L) ∈ V となる。 即ち、部分族 (x_i), i ∈ H もCauchy の総和可能判定条件を満たす。 従って、 158 より (x_i), i ∈ H は総和可能である。 証明終 160 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/04(土) 08 58 38 訂正 134 V(A) を x + V 全体の共通集合とする。 V(A) を x + V 全体の和集合とする。 ここで x は A の点全体を動く。 即ち V(A) = A + V である。 161 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/04(土) 09 11 37 命題 G を位相群とする。 Ψ_0 を G の単位元の基本近傍系とする。 A を G の空でない部分集合とする。 {VA ; V ∈ Ψ_0} の共通部分は A の閉包である。 証明 {VA ; V ∈ Ψ_0} の共通部分を B とする。 x ∈ B は 任意の V ∈ Ψ_0 に対して x ∈ VA と同値である。 これは任意の V ∈ Ψ_0 に対して V^(-1)x が A と交わることと 同値である。 これは x が A の閉包に属すことと同値である。 証明終 162 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/04(土) 09 22 03 命題 G を位相群とする。 A を G の空でない部分集合とする。 V を単位元の任意の近傍とする。 このとき cls(A) ⊂ VA である。 ここで cls(A) は A の閉包を表す。 証明 161 より明らかである。 163 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/04(土) 09 27 06 命題 G を位相群とする。 単位元の閉近傍全体は単位元の基本近傍系である。 証明 V を単位元の任意の近傍とする。 W^2 ⊂ V となる単位元の近傍 W がある。 162 より cls(W) ⊂ W^2 である。 証明終 164 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/04(土) 09 33 34 命題( 43の一般化) G を分離的かつ完備な位相アーベル群とする。 I を(可算とは限らない)任意の集合とする。 (x_i), i ∈ I を I を添字集合とする G の元の族とする。 族 (x_i) は総和可能( 25)とする。 S = Σx_i をその和とする。 (I_λ), λ ∈ L を I の任意の分割とする。 即ち I = ∪I_λ, λ ∈ L で λ ≠ μ なら I_λ ∩ I_μ は空集合 である。 159 より部分族 (x_i), i ∈ I_λ は総和可能である。 この和を S_λ とする。 族 (S_λ), λ ∈ L は総和可能で、その和 ΣS_λ は S = Σx_i に 等しい。 証明 K ∈ Φ(L) に対して T(K) = ΣS_λ とおく。 ここで右辺の和の λ は K の元全体を動く。 K が空集合のときは T(K) = 0 とする。 (続く) 165 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/04(土) 09 35 18 即ち、G の単位元の任意の対称近傍 V に対して J_0 ∈ Φ(I) があり、 J_0 ⊂ J となる任意の J ∈ Φ(I) に対して S - S(J) ∈ V となる。 K_0 = {λ ∈ L ; J_λ = I_λ ∩ J_0 が空でない } とおく。 K を L の有限部分集合で K_0 ⊂ K とする。 163 より単位元の閉近傍全体は基本近傍系であるから S - T(K) ∈ cls(V) を示せばよい。 G の単位元の任意の対称近傍 W に対して 各 λ ∈ K に対して J_λ ⊂ H_λ ⊂ I_λ となる有限部分集合 H_λ が存在して S_λ - (H_λ) ∈ W となる。 J = ∪H_λ, λ ∈ K とおく。J は I の有限部分集合で J_0 を含む。 S(J) = ΣT(H_λ), λ ∈ K である。 S - T(K) = S - ΣS_λ = S - Σ(S_λ - T(H_λ)) - ΣT(H_λ) = S - S(J) - Σ(S_λ - T(H_λ)) ∈ V + nW n は K の元の個数である。 W はいくらで小さく出来るから 161 より S - T(K) ∈ cls(V) となる。 証明終 166 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/04(土) 09 48 03 命題(総和記号の交換) G を分離的かつ完備な位相アーベル群とする。 L と M を任意の集合とする。 (x_(λ,μ)), (λ,μ) ∈ L×M を L×M を添字集合とする G の元の族とする。 (x_(λ,μ)) が総和可能なら Σx_(λ,μ) = Σ(Σx_(λ,μ), μ ∈ M), λ ∈ L = Σ(Σx_(λ,μ), λ ∈ L), μ ∈ M となる。 証明 L×M は ({λ}×M), λ ∈ L により分割される。 164 より Σx_(λ,μ) = Σ(Σx_(λ,μ), μ ∈ M), λ ∈ L である。 同様に、(L×{μ}), μ ∈ M により分割される。 164 より Σx_(λ,μ) = Σ(Σx_(λ,μ), λ ∈ L), μ ∈ M である。 証明終 167 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/04(土) 09 54 56 命題( 58の一般化) G を分離的な位相アーベル群とする。 (x_i), i ∈ I を G の元の I を添字集合とする族とする。 (I_λ), λ ∈ L を I の有限な分割とする。 即ち、L は有限集合で、I = ∪I_λ で λ ≠ μ なら I_λ ∩ I_μ は空集合である。 I_λ を添字集合とする部分族 (x_i), i ∈ I_λ は総和可能とする。 この和を S_λ とする。 このとき (x_i), i ∈ I は総和可能で S = Σx_i をその和とすると、S = ΣS_λ である。 証明 L = {1, 2} の場合に証明すれば十分である。 I_1 の有限部分集合全体の集合を Φ(I_1) とする。 H_1 ∈ Φ(I_1) に対して S_1(H_1) = Σx_i とおく。 ここで右辺の和の i は H_1 の元全体を動く。 同様に H_2 ∈ Φ(I_1) に対して S_2(H_2) を定義する。 (続く) 168 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/04(土) 09 55 44 即ち、G の単位元の任意の対称近傍 V に対して J_1 ∈ Φ(I_1) があり、 J_1 ⊂ H_1 となる任意の H_1 ∈ Φ(I_1) に対して S_1 - S_1(H_1) ∈ V となる。 同様に J_2 ∈ Φ(I_2) があり、 J_2 ⊂ H_2 となる任意の H_2 ∈ Φ(I_2) に対して S_2 - S_2(H_2) ∈ V となる。 J_1 ∪ J_2 ⊂ H とする。 H_1 = H ∩ I_1 H_2 = H ∩ I_2 H = H_1 ∪ H_2 J_1 ⊂ H_1 J_2 ⊂ H_1 S(H) = S_1(H_1) + S_2(H_2) である。 S = S_1 + S_2 とする。 S - S(H) = S_1 - S_1(H_1) + S_2 - S_2(H_2) ∈ V + V 証明終 169 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/04(土) 10 13 45 定義 位相群 G から位相群 G への群としての準同型 f が連続なとき f を位相群としての射または単に射と言う。 170 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/04(土) 10 33 27 (G_i), i ∈ I を I を添字集合とする位相群の族とする。 G = ΠG_i は自然に位相群となる。 これを示そう。 H_i = (G_i)×(G_i) とおく。 f_i H_i → G_i を f_i(x, y) = xy^(-1) で定義する。 f_i は連続である。 H = ΠH_i とおく。 g H → G を g((x_i, y_i)) = ((x_i(y_i)^(-1)) で定義する。 G から G_i への射影を p_i とする。 H から H_i への射影を q_i とする。 (p_i)g = (f_i)(q_i) である。 (f_i)(q_i) H → G_i は連続である。 従って g も連続である。 一方、G×G は位相群として標準的に H に同型である。 この同型を φ とする。 即ち φ((x_i), (y_i)) = ((x_i, y_i)) gφ G×G → G は連続である。 gφ(x, y) = xy^(-1) である。 従って G は位相群である。 171 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/04(土) 10 55 31 (G_i), i ∈ I を I を添字集合とする位相群の族とする。 170 より G = ΠG_i は自然に位相群となる。 各 i ∈ I に対して p_i G → G_i を射影とする。 (G, (p_i)) は次の性質 (P) を持つ。 H を位相群とし、各 i ∈ I に対して f_i H → G_i を位相群としての射( 169)とする。 このとき射 f H → G で (p_i)f = f_i となるものが一意に存在する。 性質 (P) の証明は読者にまかす。 位相群 G と各 i ∈ I に対して射 q_i G → G_i があり、 (G , (q_i)) が性質 (P) を持てば 射で α G → G で (q_i)α = p_i 射で β G → G で (p_i)β = q_i となるものがある。 このとき射の一意性から βα = 1, αβ = 1 となる。 従って G は G と同型である。 172 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/04(土) 11 17 51 命題 (X_i), i ∈ I を I を添字集合とする位相空間の族とする。 X = ΠX_i を直積とする。 各 i ∈ I に対して p_i X → X_i を射影とする。 Φ を X のフィルター基底とする。 Φ が x に収束するためには各 i ∈ I に対して フィルター基底 p_i(Φ) が p_i(x) に収束することが必要十ウンである。 証明 Φ が x に収束するとする。 各 i ∈ I に対して V_i を p_i(x) の任意の近傍とする。 (p_i)^(-1)(V_i) は x の近傍だから M ⊂ (p_i)^(-1)(V_i) となる M ∈ Φ がある。 p_i(M) ⊂ V_i だから p_i(Φ) は p_i(x) に収束する。 逆に各 i ∈ I に対して p_i(Φ) が p_i(x) に収束するとする。 V を x の任意の近傍とする。 有限個の I の元 L = {i_1, . . . , i_n} と 各 k ∈ L に対して p_k(x) の近傍 V_k があり、 ∩(p_k)^(-1)(V_k) ⊂ V となる。 各 k ∈ L に対して p_k(M_k) ⊂ V_k となる M_k ∈ Φ がある。 M ⊂ ∩M_k となる M ∈ Φ をとる。 M ∈ Φ で M ⊂ ∩(p_k)^(-1)(V_k) ⊂ V となる。 よって Φ は x に収束する。 証明終 173 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/04(土) 11 44 59 命題 (G_λ), λ ∈ L を L を添字集合とする分離的な位相アーベル群の 族とする。 G = ΠG_λ は自然に位相アーベル群となる。 G は分離的である。 p_λ G → G_λ を射影とする。 (x_i), i ∈ I を I を添字集合とする G の元の族とする。 (x_i) が総和可能であるためには各 λ に対して G_λ の元の族 (p_λ(x_i)), i ∈ I が総和可能であることが必要十分である。 このとき S_λ = Σp_λ(x_i) とすると S = (S_λ) は (x_i) の和である。 証明 J を I の有限部分集合とする。 S(J) = Σx_i とおく。 ここで右辺の和の i は J の元を動く。 p_λ(S(J)) = Σp_λ(x_i) である。 ここで右辺の和の i は J の元を動く。 このことと、 172 より本命題の主張は直ちに出る。 証明終 174 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/04(土) 12 08 12 命題 X, Y を位相空間とし、 f X → Y を連続写像とする。 Φ を X のフィルター基底で x に収束するとする。 このときフィルター基底 f(Φ) は f(x) に収束する。 証明 f(x) の任意の近傍 V をとる。 f^(-1)(V) は x の近傍だから M ∈ Φ があり、 M ⊂ f^(-1)(V) となる。 よって f(M) ⊂ V である。 よって f(Φ) は f(x) に収束する。 証明終 175 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/04(土) 12 13 17 命題 G と G を分離的な位相アーベル群とする。 f G → G を位相群の射( 169)とする。 (x_i), i ∈ I を I を添字集合とする G の元の族とする。 (x_i) が総和可能なら (f(x_i)) も総和可能であり、 f(Σx_i) = Σf(x_i) となる。 証明 i が I の有限部分集合 J の元を動くとき f(Σx_i) = Σf(x_i) となる。 これと 174 より明らかである。 証明終 176 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/04(土) 12 28 40 命題 G を分離的な位相アーベル群とする。 (x_i), (y_i) を I を添字集合とする G の元の二つの族とする。 (x_i) と (y_i) は総和可能とする。 n を任意の有理整数とする。 このとき (-x_i), (n(x_i)), (x_i + y_i) はそれぞれ総和可能で 1) Σ(-x_i) = -Σx_i 2) Σn(x_i) = nΣx_i 3) Σ(x_i+ y_i) = Σx_i + Σy_i となる。 証明 x → -x と x → nx は G から G への射である。 従って 1), 2) は 175 から出る。 173 より (x_i, y_i) は G×G において総和可能であり、 その和は (Σx_i, Σy_i) である。 (x, y) に x + y を対応させる 写像 G×G → G は位相群の射だから 175 より 3) が出る。 証明終 177 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/04(土) 14 12 21 定義( 45の一般化) G を分離的な位相アーベル群とする。 Z+ を n ≧ 0 となる有理整数 n の集合とする。 (x_n), n ∈ Z+ を G の元の Z+ を添字集合とする点列とする。 S_n = x_0 + x_1 + . . . + x_n とおく。 点列 (S_n) が収束するとき S = lim S_n を点列 (x_n) が定める級数の 和といい、 S = Σx_n と書く。 これは (x_n) が総和可能なときの和の記号と同じで紛らわしいので Bourbaki は Σ の代わりに太字の S を使っている。 しかし、このスレでは従来通りの記号を使うことにする。 178 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/04(土) 14 30 40 命題 G を位相アーベル群とする。 X を G の部分空間とする。 Φ_0 を X のフィルター基底( 77)で X の点 x に収束するとする。 このとき Φ_0 は Cauchy フィルター基底( 130)である。 証明 G の単位元 0 の任意の近傍 V に対して W + W ∈ V となる 0 の対称近傍 W を取る。 M ⊂ x + W となる M ∈ Φ_0 がある。 M - M ∈ W - W = W + W ⊂ V である。 よって Φ_0 はCauchy フィルター基底である。 証明終 179 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/04(土) 14 31 55 定義 G を位相アーベル群とする。 X を G の部分空間とする。 (x_n), n ∈ Z+ を X の点列とする。 A_n = {x_n, x_(n+1), . . . } とおく。 X のフィルター基底( 77) (A_n) が Cauchy フィルター基底( 130)と なるとき (x_n) を X の Cauchy 点列と言う。 180 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/04(土) 14 35 38 命題 G を位相アーベル群とする。 X を G の部分空間とする。 (x_n), n ∈ Z+ を X の点列とする。 (x_n) が X の点 x に収束するとする。 このとき (x_n) は Cauchy 点列( 179)である。 証明 A_n = {x_n, x_(n+1), . . . } とおく。 X のフィルター基底( 77) (A_n) が は x に収束する。 従って 178 より (A_n) は Cauchy フィルター基底( 130)である。 従って (x_n) は Cauchy 点列である。 証明終 181 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/04(土) 14 45 58 G を分離的な位相アーベル群とする。 X を G の部分空間とする。 (x_n), n ∈ Z+ を X の点列とする。 S_n = x_0 + x_1 + . . . + x_n とおく。 180 より 点列 (x_n) が定める級数が収束するためには 点列 (S_n) が Cauchy 点列であることが必要である。 これは G の単位元 0 の任意の近傍 V に対して n_0 ∈ Z+ があり、 任意の n ≧ n_0 と p ＞ 0 に対して S_(n+p) - S_n = x_(n+1) + . . . + x_(n+p) ∈ V と なることと同値である。 G が完備( 145)なら、この条件は十分である。 182 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/04(土) 15 38 21 G を分離的な位相アーベル群とする。 (x_n), n ∈ Z+ を X の点列とする。 181 より 点列 (x_n) が定める級数が収束するためには lim x_n = 0 が必要である。 183 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/04(土) 15 46 41 命題 G を分離的な位相アーベル群とする。 (x_n), (y_n) を G の元の点列とする。 級数 Σx_n と 級数 Σy_n は収束するとする。。 m を任意の有理整数とする。 このとき級数 (-x_n), (m(x_n)), (x_n + y_n) はそれぞれ収束し、 1) Σ(-x_n) = -Σx_n 2) Σm(x_n) = mΣx_n 3) Σ(x_n+ y_n) = Σx_n + Σy_n となる。 証明 -x と mx は G で連続であり、 x + y は G×G で連続なことから明らかである。 184 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/04(土) 15 57 12 G を分離的な位相アーベル群とする。 (x_n), n ∈ Z+ を G の元の点列とする。 m ∈ Z+ のとき (x_n), n ∈ Z+ の部分点列 (x_(n+m)), n ∈ Z+ の部分点列を考える。 級数 Σx_n と 級数 Σx_(n+m) は同時に収束する。 Σx_n = S_(m-1) + Σx_(n+m) であるから m → ∞ のとき Σx_(n+m) → 0 である。 185 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/04(土) 16 12 30 命題 G を分離的な位相アーベル群とする。 (x_n), n ∈ Z+ を G の元の点列とする。 (x_n) が総和可能でその和を S とする。 このとき、級数 Σx_n は収束して S = Σx_n である。 証明 G の単位元 0 の任意の近傍 V に対して J_0 ∈ Φ(Z+) があり、 J_0 ⊂ J となる任意の J ∈ Φ(Z+) に対して S(J) ∈ S + V となる。 S_n = x_0 + x_1 + . . . + x_n とおく。 J_0 に含まれる最大の有理整数 を n_0 とする。 n ≧ n_0 なら S_n ∈ S + V となる。 即ち S = lim S_n である。 証明終 186 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/04(土) 16 16 02 定義 G を分離的な位相アーベル群とする。 (x_n), n ∈ Z+ を G の元の点列とする。 N の任意の置換、即ち全単射 σ N → N に対して 級数 (x_σ(n)), n ∈ Z+ が収束するとき (x_n), n ∈ Z+ により定義される級数は可換収束すると言う。 187 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/04(土) 16 30 43 命題( 48の一般化) G を分離的な位相アーベル群とする。 (x_n), n ∈ Z+ を G の元の点列とする。 (x_n), n ∈ Z+ により定義される級数が可換収束するためには (x_n) が総和可能であることが必要十分である。 このとき、(x_n) の和を S とすると、 N の任意の置換 σ に対して (x_σ(n)) により定義される級数は S に収束する。 証明 (x_n) が総和可能なら、 151 より N の任意の置換 σ に対して (x_σ(n)) も総和可能で S = Σx_σ(n) となる。 185 より (x_σ(n)) により定義される級数も S に収束する。 逆に (x_n), n ∈ Z+ により定義される級数が可換収束するとする。 点列 (x_n) が総和可能でないとして矛盾を導く。 点列 (x_n) は Cauchy の判定条件( 153) を満たさない。 G の単位元の任意の近傍 V があり、 任意の J ∈ Φ(Z+) に対して H ∈ Φ(Z+) で J ∩ H が空集合となり S(H) ∈ G - V となる。 (続く) 188 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/04(土) 16 31 35 まず最初に J として空集合を取れば H_0 ∈ Φ(Z+) で S(H_0) ∈ G - V となるものがある。 次に J = H_0 として H_0 と交わらない H_1 で S(H_1) ∈ G - V と なるものがある。 次に J = H_0 ∪ H_1 として H_0 ∪ H_1 と交わらない H_2 で S(H_2) ∈ G - V と となるものがある。 これを続けると(厳密には数学的帰納法により) Z+の有限部分集合の族 (H_n), n ∈ Z+ で以下の条件を満たすものが 存在する。 1) n ≠ m なら H_n と H_m は交わらない。 2) Z+ = ∪(H_n), n ∈ Z+ 3) 任意の n ∈ Z+ に対して S(H_n) ∈ G - V 点列 (x_n) を添字 n が H_0, H_1, . . . に現れる順に並べ変えた ものを (x_σ(n)) とする。 点列 (x_σ(n)) が定める級数は条件 3) より Cauchy の収束判定条件を 満たさない。 よって (x_σ(n)) が定める級数は収束しない。 これは仮定に反する。 証明終 189 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/04(土) 16 37 57 定義 A を環であり同時に位相空間とする。 A が以下の条件を満たすとき位相環と言う。 1) A は加法に関して位相群である。 2) (x, y) に xy を対応させる写像 A×A → A は連続である。 190 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/04(土) 16 47 33 定義 K を(必ずしも可換でない)体であり同時に位相空間とする。 K が以下の条件を満たすとき位相体と言う。 1) K は位相環( 189)である。 2) x に x^(-1) を対応させる写像 K^* → K^* は連続である。 ここで K^* = K - {0} は K の乗法群を表す。 タグ： コメント